Содержание
Введение
Глава первая Математики и невозможные фигуры
Треугольник Реутерсварда
Иллюзия Пенроуза
Невозможные фигуры - возможны!
Принципы построения «невозможных фигур»
Невозможный треугольник
Эшер – певец невозможных фигур
Глава вторая Психологи и «невозможные фигуры»
Особенности восприятия человеком «невозможных фигур»
Использование «невозможных фигур» в психотерапии
Заключение
Библиография

Введение
«Невозможная фигура» - это изображение трехмерного объекта, который не может существовать в действительности, но который, однако, можно видеть как двухмерное изображение.
Невозможная фигура определяется как двухмерное изображение, воспринимаемое таким образом, что у зрителя создается впечатление, что подобного трехмерного объекта не может существовать в реальном мире. Ключевые слова в данном определении - "впечатление" и "восприятие". Невозможная фигура на первый взгляд должна производить впечатление обычного трехмерного объекта, но при внимательном рассмотрении фигуры у человека складывается впечатление, что такой фигуры не может существовать в реальном мире. Кроме того, свойство "невозможности" не просто свойство рисунка, а особенность пространственного восприятия человеком нарисованного объекта.Однако во многих случаях возможно построить трехмерную модель невозможной фигуры. Эта модель не будет соответствовать нормальному восприятию фигуры человеком. Как правило, трехмерная модель невозможной фигуры должна рассматриваться с какого-то определенного угла обзора, чтобы возникла иллюзия невозможности.Необходимо прояснить различие между терминами "невозможная фигура", "невозможный объект" и "трехмерная модель". Трехмерная модель - это физически представимый объект, при проецировании которого на двухмерную плоскость получается невозможная фигура. Эта невозможная фигура создает впечатление невозможного объекта (в отличие от трехмерной модели), который может существовать только в воображении человека. Для передачи иллюзии трехмерной действительности используются двухмерные рисунки (рисунки на плоской поверхности). Обычно обман состоит в изображении фигур, которые человек пытается представить как трехмерные объекты в соответствии со своим личным опытом. Например фигура Мача.В изометрических рисунках все параллельные линии представляются параллельными, даже если они наклонены по отношению к наблюдателю. Объект, имеющий угол наклона, направленный от наблюдателя, выглядит точно так же, как если бы он был наклонен к наблюдателю на тот же угол.
При использовании этого класса иллюзий, рисунок кажется на первый взгляд обычным изображением тела в перспективе. Но при более внимательном рассмотрении становятся видны внутренние противоречия такого объекта. И становится ясно, что такой объект не может существовать в действительности. Гипотеза: не все «невозможные фигуры» созданы. Создание и изучение имеющихся невозможных фигур будит человеческое воображение, заставляет человека размышлять над решением «невозможных» задач и решать их.
Глава первая
Математики и невозможные фигуры
Треугольник Реутерсварда
В 1934 году Оскар Реутерсвард (Oscar Reutersvard) создал первый невозможный треугольник, составленный из серии кубиков. Хотя многие художники создавали невозможные фигуры, именно Реутерсвард открыл новый мир фантазий. С тех пор Реутерсвард создал тысячи невозможных фигур. Сегодня он известен как "отец невозможных фигур". В 1980 году Шведское правительство решило разместить невозможный треугольник Реутерсварда на почтовых марках, которые выпускались с 1982 года примерно два года. 
Иллюзия Пенроуза
В 1954 году Роджер Пенроуз (Roger Penrouse) – британский математики и физик - после лекции голландского графика М. К. Эшера открыл заново невозможный треугольник и нарисовал его в более привычной форме. В отличие от треугольника Реутерсварда, треугольник Пенроуза нарисован с использованием линейной (а не параллельной, как у Реутерсварда) перспективы, что придает ему больше невозможности. Он опубликовал свой треугольник в 1958 году в Британском журнале психологии в соавторстве со своим отцом Лайонелом Пенроузом (Lionel Penrouse).При рассмотрении этого треугольника кажется, что вы видите три бруска квадратного сечения соединенные в треугольник. Если вы закроете любой угол этой фигуры, то увидите, что все три бруска соединены правильно. Но когда вы уберете руку с закрытого угла, то станет очевиден обман. Те два бруска, которые соединяются в этом угле, не должны быть даже вблизи друг друга.
Невозможные фигуры - возможны!
Треугольник Пенроуза увековечен в виде статуи в Перте (Австралия). Созданный усилиями художника Брайна МакКея/Brian McKay и архитектора Ахмада Абаса/Ahmad Abas, он был воздвигнут в парке Клайзебрук/Claisebrook в 1999 году и теперь все проезжающие мимо могут видеть следующую "невозможную" фигуру.
Знакомство с невозможными фигурами (особенно в исполнении Эшера), конечно, ошеломляет и буквально срывает крышу, но тот факт, что любую из невозможных фигур возможно сконструировать в реальном трехмерном мире, разрывает ее (крышу) напополам, так что шифер превращается в черепицу.
Как известно, всякое двухмерное изображение представляет собой проекцию трехмерной фигуры на плоскость (лист бумаги). Способов проекции существует достаточно много, но в рамках каждого из них (например, аксонометрической проекции) отображение выполняется однозначно, то есть существует строгое соответствие между трехмерной фигурой и ее двухмерным изображением. 
Однако аксонометрические, изометрические и другие популярные способы проекции являются однонаправленными преобразованиями, осуществляемыми с потерей информации и потому обратное преобразование может быть выполнено бесконечным множеством способов, то есть двухмерному изображению соответствует бесконечное множество трехмерных фигур и любой математик без труда докажет, что такое преобразование возможно для любого двухмерного изображения. То есть, на самом деле никаких невозможных фигур нет!
Вернемся к Треугольнику Пенроуза и попробуем соорудить трехмерную фигуру, проекция которой на двухмерную плоскость выглядела бы обозначенным образом. Естественно, "в лоб" такую задачу решить не удастся, но если хорошо покурить и выбрать правильный ракурс, то... один из возможных вариантов показан на рис.
 Какой бы "невозможной" ни казалась бы двухмерная фигура, ее всегда можно сконструировать, пусть даже для этого потребуется усилия целой фирмы или даже корпорации. Дольше всех не сдавался бливет, однако сотрудники Немецкого Института Глазной Оптики решили и эту задачу создав специальную установку, конструктивно состоящую из двух частей.
В передней части находятся три круглых колонны и человек (типа, "строитель"). За колоннами расположено полупроницаемое зеркало с двумя прямоугольными колоннами позади. Фокус заключается в правильном подборе освещения: круглые колонны освещаются снизу, прямоугольные - сверху. Накладываясь в зеркале друг на друга, они создают предмет, известный под названием "бливет". И хотя это не очень честное решение, поскольку фактически бливет создается на двухмерной поверхности зеркала, все-таки он представляет собой объект реального мира.
Принципы построения «невозможных фигур»
Когда Пенроуз в начале 1960-х годов начал сортировать и систематизировать свои «невозможные фигуры», ему захотелось найти для них точное название. Автор уже знал, что его конструкции сродни искусству старых японских мастеров школы "макимоно", которые рисовали с близкой дистанции. Их рисунки были изометрической проекцией, то есть художники не обращали внимания на увеличение размера предмета на различных уровнях глубины рисунка. При таком способе рисования глубина рисунка двусмысленна. Поэтому Пенроуз дал своим рисункам общее название японской перспективы. Сейчас они называются импоссибилистскими рисунками.Пенроуз пишет в своей книге "Новый ум короля": "Двумя основными требованиями, которые нужно соблюдать, чтобы производить такие фигуры, являются изометрическая проекция и вращение. Я также установил, что по-настоящему право на изобретение всего этого принадлежит гениальному немецкому математику Августу Мебиусу, который в 1835 г. открыл ленту Мебиуса, эту чудовищную, повернутую на пол-оборота вечную ленту, имеющую только одну сторону и "параллельный" кант. Все, что создано мною и всем импоссибилизмом - является ли это всего лишь ответвлением парадоксального изобретения Мебиуса. Я уже раньше сделал одно наблюдение, которое могло бы иметь интересные последствия при рассмотрении сомнительных фигур. Это было в 1949 г., когда я работал над одним видом таких фигур, а именно, над моими невозможными лентами, нарисованными меандром. Само собой разумеется, что истинные невозможные фигуры не могут составить единое целое в логическом и качественном пространстве, и поэтому нельзя было выполнить их в центральной перспективе. По той же причине они не могут производиться компьютерами, которые выполняют только задания с логической структурой. "Невозможные фигуры создают впечатление трехмерного объекта, и это подразумевает, что такой объект вполне возможно вращать и рассматривать его с различных углов. Однако, при вращении трехмерной модели, которая соответствует невозможной фигуре, сразу же станут видны все щели и изгибы в модели, и иллюзия невозможности будет разрушена. Модель невозможного объекта в таком случае должна быть каким-то образом перестроена, чтобы создать эффект невозможности с другой точки обзора. При изменении точки обзора модель должна быть подстроена к ней. Но при этом мы должны удовлетворить следующим условиям: 
1.	Компоненты фигуры , которые кажутся прямыми с одной точки обзора, должны казаться прямыми со всех точек обзора. 
2.	Компоненты фигуры, которые кажутся связанными с одной точки обзора, должны казаться связанными со всех точек обзора. 
Невозможный треугольник 
Пользуясь принципами построения «невозможных фигур», сформулированными Пенроузом, я проанализировал одну группу «невозможных фигур»: треугольники, широко представленную на нескольких сайтах. Мне удалось создать свой невозможный треугольник, который, по-моему, до сих пор не существует. Таким образом я доказал свою гипотезу о том, что не все «невозможные фигуры» созданы.
Эшер – певец невозможных фигур
Вернемся в 1954 год на лекцию голландского графика Эшера, так поразившую воображение Пенроуза. В 1954 году Эшером ещё не были созданы его знаменитые гравюры "Водопад" ("Waterfall"), "Восхождение и спуск" ("Ascending and Descending") и "Бельведер" («Belvedere»), это произошло только в 1961 году, когда М. К. Эшер под впечатлением невозможного треугольника, нарисованного Пенроузом (Пенроузы отослали копию статьи Эшеру) создал знаменитую литографию "Водопад". В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии. Здесь эта иллюзия проиллюстрирована в своей простейшей форме. Конструкция составлена из перекладин, положенных одна на другую под прямым углом. Следя глазами за всеми элементами поочередно, мы не заметим ни малейшего несоответствия между ними. Эта конструкция трижды «вмонтирована» в картину. Падающая вода приводит в движение мельницу и течет по наклонному зигзагообразному желобу между двумя башнями, возвращаясь к точке, где водлопад начинается вновь. Если бы такую конструкцию можно было бы построить, то был возможен бы вечный двигатель! Но при более внимательном рассмотрении картины мы видим, что художник обманывает нас, и любая попытка построить эту конструкцию обречена на неудачу.Среди работ М. К. Эшера есть много картин-иллюзий, а также сложных геометрических картин, которые можно отнести скорее к "интеллектуальным математическим играм", чем к искусству. Однако они производят впечатление на математиков и ученых. Возможно, создание и анализ визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники.
Одна из лучших картин Эшера называется «Картинная галерея» («Print Gallery»). Попытаюсь описать её словами. На ней слева изображен посетитель картинной галереи, рассматривающий рисунок, на котором виден некий город. По мере приближения к правому краю картины город на рисунке становится всё больше и больше, выпучиваясь из своей рамы и заполняя уже всю «Галерею». В одном из зданий этого города оказывается расположена картинная галерея, продолжающая увеличиваться к левому краю картины, где мы видим посетителя, рассматривающего рисунок, на котором виден некий город. Если некоторое время думать о том, какая картина внутри, а какая снаружи, галерея ли находится внутри «Галереи», или, может быть, наоборот, и о том, что должна видеть из своего окна вон та женщина в белом, то неподготовленному человеку может стать дурно. В этом-то, конечно, и заключается вся прелесть.
Наверняка, вы обратили внимание на белое пятно с подписью Эшера в центре картины, как раз в самом эпицентре изображения. «Почему он оставил его пустым и нельзя ли как-нибудь продолжить «Галерею» вовнутрь?» — задумался доктор Хендрик Ленстра (Dr. Hendrik Lenstra), когда в самолёте попалась ему на глаза эта картина в журнале. Видимо, не зря он преподаёт в Беркли и Лейдене: через два года работы он смог подробнейшим образом ответить на второй вопрос.
Согласно воспоминаниям приятеля Эшера, с которыми ознакомился Ленстра, Эшер стремился нарисовать спиралевидную картину без начала и конца. Он подготовил себе специальную искривленную сетку  и затем аккуратно искривлял по ней набросок набережной. Следовательно, решил Ленстра, доведенная до предела «Картинная галерея» должна продолжаться внутрь по бесконечной спирали, полностью повторяя саму себя. Теперь единственная проблема заключалась в том, чтобы написать математическую формулу этой спирали, и она была Ленстрой получена.
Ключом к разгадке послужила одна фраза в тех же воспоминаниях. Эшер изгибал свою картину так, чтобы каждый квадрат оставался похожим на квадрат, то есть, чтобы сохранялись прямые углы между всеми линиями.
Воспользовавшись полученной формулой, один из студентов Ленстры написал программу, которая изогнула «Галерею» в обратную сторону. Из-за того самого белого пятна изображение получилось незаконченным, и его дорисовал специально приглашенный художник. Наконец, к уже готовому изображению еще раз применили формулу Ленстры — в результате получилась почти прежняя «Картинная галерея», но уже без загадочного белого пятна. На его месте оказалась повернутая и изогнутая копия «Галереи».Совершенно удивительно, как сам Эшер — окончив лишь среднюю школу и не имея ни малейшего представления о конформных отображениях — мог рисовать такие картины. Впрочем, исследование Ленстры ему бы, наверняка, понравилось: он всегда был очень горд, когда его работами интересовались математики. 

Глава вторая
Психологи и «невозможные фигуры»
Особенности восприятия человеком «невозможных фигур»
Иллюзорные произведения искусства имеют определенное обаяние. Они - триумф изобразительного искусства над действительностью. Почему иллюзии так интересны? Почему так много художников используют их в своих произведениях? Возможно, потому что они показывают не то, что нарисовано на самом деле.Некоторых людей нисколько не интригуют иллюзорные картины. "Всего лишь неправильная картина" - говорят они. Некоторые люди, возможно меньше 1% населения, не воспринимают их, потому что их мозг не способен преобразовывать плоские картины в трехмерные образы. Эти люди, как правило, испытывают сложности в восприятии технических чертежей и иллюстраций трехмерных фигур в книгах.Другие могут увидеть, что с картиной "что-то неправильно", но они и не подумают спросить, каким образом получается обман. У этих людей никогда не возникает потребности понять, как работает природа, они не могут сосредоточиться на деталях за недостатком элементарного интеллектуального любопытства.Говорят, что люди, живущие на каком-нибудь тихоокеанском острове или глубоко в джунглях Амазонки, где никогда не видели фотографии, не смогут сначала понять, что изображает фотография, когда им ее покажут. Интерпретация этого специфического вида изображения является приобретенным навыком. Одни люди овладевают этим навыком лучше, другие - хуже.Иногда при восприятии пространственных свойств объектов возникают зрительные иллюзии, представляющие собой неправильные, искаженные восприятия.Физиологическую основу некоторых иллюзий, - очевидно, составляют особенности движения глаз при фиксировании объектов. В частности, переоценка линий вертикального направления вызывается тем фактом, что движения глаз по вертикали требуют большего мышечного напряжения и, кроме того, более длительны, чем движения глаз по горизонтали.
Часто причиной возникновения зрительных иллюзий является системное действие сложившихся ранее временных связей. Этим объясняется, например, иллюзия уподобления части целому.Оригинальные зрительные иллюзии возникают при условиях изменяющегося видимого нами рельефа или глубины рисунка. Природа этих иллюзий связана, с одной стороны, с явлениями аккомодации и конвергенции глаз, т. е. с их способностью видеть предметы на разных расстояниях, со способностью воспринимать пространство по яркости предметов, по их теням и по числу промежуточных объектов. С другой стороны, эти иллюзии возникают и в процессе осмысливания видимого, т. е. огромная роль в исправлении пространственного восприятия принадлежит мозгу. В этом случае работа мозга, ясно не сознаваемая нами, совершается так же, как и при переворачивании обратных и при выпрямлении криволинейных изображений, получающихся на сетчатках наших глаз. Прямоугольник согнутый вдвое ярко показывает такую двусмысленность. Эта фигура может показаться вам раскрытой книгой, как будто вы смотрите на страницы книги, или может показаться книгой, развернутой к вам переплетом и вы смотрите на обложку книги. Эта фигура также может казаться двумя совмещенными параллелограммами, но очень небольшое количество людей увидят эту фигуру именно в виде параллелограммов.Художники оп-арта использовали различные зрительные иллюзии, опираясь на особенности восприятия плоских и пространственных фигур.Например, при рассматривании чередующихся черных и белых концентрических окружностей появляются пересекающие их лучи, которые вращаются наподобие пропеллера. Чертеж куба, на котором обозначены все его ребра, оказывается для глаза неустойчивым, и его грани постоянно меняются местами, то выдвигаясь вперед, то отступая в глубину. При пересечении отрезка прямой штрихами может возникнуть ощущение ломаной линии. Взаимоналожение двух геометрических (например, кольцевых) структур дает эффект волн. Яркая и резко обозначенная форма провоцирует так называемый последовательный образ, то есть иллюзорную форму той же конфигурации и контрастного цвета.Принудительная реакция глаза на противоестественный гештальт рефлекторна, как реакция пальца на ожог. Гештальт – целостный образ предмета, находящийся в нашем сознании. Через него, как через призму происходит восприятие предмета, что и создает иллюзию восприятия. Мы не сразу замечаем все особенности предмета, так как наше сознание само стремится достроить якобы узнанный им предмет. Иллюзия возникает автоматически, как результат сбоя в работе зрительного аппарата.Виднейший представитель и теоретик оп-арта Вазарели писал: "Мы делаем ставку не на сердце, а на рутину; изощренные данные субъекта включаются в психологический эксперимент. Резкие черно-белые контрасты, невыносимая вибрация дополнительных цветов, мерцание ритмических сеток и меняющихся структур, оптический кинетизм пластических компонентов – все физические явления наличествуют в наших работах; отныне их роль – не творить чудо, не погружать нас в сладостную меланхолию, а стимулировать, возбуждать в нас дикое веселье". 
Опираясь на определённые психологические особенности человеческого восприятия, художники оп-арта использовали некоторые зрительные иллюзии. "Группа исследований визуального искусства" (объединение художников оптического и кинетического искусства) писала в своем манифесте "Довольно мистификаций" (1961): "Больше не должно быть произведений исключительно для: культурного глаза, чувствительного глаза, интеллектуального глаза, эстетского глаза, любительского глаза. Человеческий глаз является нашей исходной точкой".Под "человеческим глазом" имеются в виду типовые реакции психики, на основе которых возникают иллюзии. Такие иллюзии действительно имеют всеобщий характер и не зависят от индивидуального сознания, культуры, убеждений и вкусов личности. В этом смысле создания оп-арта общедоступны. Кроме того, многие произведения этого направления вследствие элементарности формы и дешевизны материалов (бумага, различные виды пластмасс) легко воспроизводимы в промышленности и часто используются в рекламных целях, как основа товарных знаков и этикеток.Представители оп-арта утверждали, что их работы побуждают зрителя к активному соучастию в творчестве, поскольку сам глаз генерирует форму, трансформирует "материю" живописи в "энергию" видимого образа
Использование «невозможных фигур» в психотерапии

Эти фигуры были наконец опробованы и нашли свое употребление в психотерапии. Они широко представлены на сайтах посвященных гештальт-терапии. Шведские зубные врачи решили использовать общую тенденцию глубже изучать все загадочное и парадоксальное. Они исходили из уже наблюдавшихся случаев, когда зритель (пациент) в течение довольно продолжительного времени концентрировал свое внимание на невозможной фигуре. Таким образом, пациента можно было отвлечь от довольно неприятного процесса лечения. Особенно хорошо действовали рисунки со сложными лестницами. Ошеломляющий эффект от того, что по такой лестнице можно взбежать на один марш вверх и оказаться в исходной точке, вызвал желание подняться еще на второй марш, что в свою очередь вызывало желание подняться на третий и т.д. «Невозможные фигуры» крупного формата нарисованные на стенах стоматологических кабинетов помогали пациентам отвлечься от боли.

Заключение

«Невозможные фигуры» эти конструкции в зрительной области соответствующие логическим парадоксам в области разума, это рисунки, которые своей противоречивой структурой поражают взгляд и вызывают желание не останавливаться перед загадочным, а попытаться дать ему приемлимое объяснение. Подтверждение тому – моя работа, в результате которой удалось создать «невозможный треугольник Шарло» и доказать, что не все «невозможные фигуры» созданы. Анализ опроса подростков показал, что действительно «невозможные фигуры» будят человеческое воображение, заставляют логически размышлять. «Невозможные фигуры» заинтересовывают, интригуют зрителя. Опрос подтвердил, что лишь немногие из рассматривающих «невозможные фигуры» могут выяснить, почему они действительно являются невозможными.Хочется закончить словами математика первого создавшего «невозможный треугольник». "Оглядываюсь на собственные конструкции всевозможные фигуры и на то, что создано моими коллегами во всем мире в области импоссибилизма, я могу назвать это робким началом чего-то более значительного и всеобъемлющего", – Оскар Реутерсвард.

Библиография
1	Генис Ал. Билет в Китай. - СПб.: АВРОРА/ЭВРИКА, 2001. - 200 с.
2	Левитан К. Геометрическая рапсодия. - М.: Знание,1976. - 144 с.
3	Табачников Н.В. Вариации на тему Эшера//Квант. - 1990. №12. - С. 2-3.
4	Шатуновский Я. Математика как изящное искусство и её роль в общем образовании//Математика в школе. - 2001, №3. - С. 6-11.
5	Кузин В.С. Психология. - М.: Высшая школа. – 1982. – 256 с.
6	Эшер М.К. Графика. - М.: Арт-Родник, 2001. - 92 с.
6	http://imp-r.narod.ru. - "Математическое искусство М.К. Эшера".
7	http://imp-r.narod.ru. - "Невозможный треугольник".
8	http://imp-r.narod.ru. - "Принципы построения иллюзий".
9	http://opart.narod.ru. - "Добро пожаловать в несуществующий мир".
10	http://ropnet.ru. - "Perpetuummobile Эшера"
11	http://sparrow.h1.ru. - "Вариации на тему Эшера".
12	http://toster.ru. - "Наука против искусства".